闪之轨迹4bp（（2010•北京）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（）

• 1、（2010•北京）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（
• 2、在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（
• 3、已知两点A,B距离为4,且动点P使PA⊥PB,求点P的轨迹方程!

1、（2010•北京）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（

（Ⅰ）因为点B与A（-1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，-1）．
设点P的坐标为（x，y）

y−1

x 1

•

y 1

x−1

＝−

1

3

化简得x² 3y²=4（x≠±1）．
故动点P轨迹方程为x² 3y²=4（x≠±1）
（Ⅱ）若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x₀，y₀）
则

1

2

|PA|•|PB|sin∠APB＝

1

2

|PM|• |PN|sin∠MPN．
因为sin∠APB=sin∠MPN，
所以

|PA|

|PM|

＝

|PN|

|PB|

所以

|x0 1|

|3−x0|

＝

|3−x0|

|x0−1|

即（3-x₀）²=|x₀²-1|，解得x0＝

5

3

因为x₀² 3y₀²=4，所以y0＝±

33

9

故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为(

5

3

，±

33

9

)．

2、在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（

（Ⅰ）因为点B与A（-1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，-1）．
设点P的坐标为（x，y）

y−1

x 1

•

y 1

x−1

＝−

1

3

化简得x² 3y²=4（x≠±1）．
故动点P轨迹方程为x² 3y²=4（x≠±1）
（Ⅱ）若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x₀，y₀）
则

1

2

|PA|•|PB|sin∠APB＝

1

2

|PM|• |PN|sin∠MPN．
因为sin∠APB=sin∠MPN，
所以

|PA|

|PM|

＝

|PN|

|PB|

所以

|x0 1|

|3−x0|

＝

|3−x0|

|x0−1|

即（3-x₀）²=|x₀²-1|，解得x0＝

5

3

因为x₀² 3y₀²=4，所以y0＝±

33

9

故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为(

5

3

，±

33

9

)．

3、已知两点A,B距离为4,且动点P使PA⊥PB,求点P的轨迹方程!

先建系,以AB中点为坐标原点建立坐标系.A(-2,0),B(2,0)
解1：设P(x,y),向量AP=(x 2,y),向量BP=(x-2,y)
PA⊥PB,所以向量AP*向量BP=0
即(x 2)(x-2) y^2=0 ,但P不能和A,B重合,所以x≠2,-2
即x^2 y^2=4 ,x≠2,-2
解2：PA⊥PB,显然P点在以AB为直径的圆上
即轨迹方程为x^2 y^2=4 ,x≠2,-2